Capítulo 2 Conjuntos limites e continuidade da probabilidade

Definição 2.1 (Sequências monótonas de eventos) Sejam $A_1,A_2,\ldots$ eventos em um espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal F, P)$.

Dizemos que $(A_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência de eventos crescente se \[ A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \cdots \]
Dizemos que $(A_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência de eventos decrescente se \[ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots \]

Observação. Se $(A_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência crescente ou decrescente, dizemos que é monótona.

Definição 2.2 (Limite de sequências monótonas de eventos) Seja $(A_n)_{n\geq 1}$ uma sequência de eventos em um espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal F, P)$.

Denotamos por $A_n\uparrow A$, se $(A_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência crescente de eventos e
\[ A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n. \]
Denotamos por $A_n\downarrow A$, se $(A_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência crescente de eventos e
\[ A = \bigcap_{n=1}^\infty A_n. \]

Teorema 2.1 (Continuidade monótona da probabilidade) Seja $(A_n)_{n\geq 1}$ uma sequência de eventos em um espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal F, P)$.

Se $A_n \uparrow A$, então $P(A_n) \uparrow P(A)$ (continuidade por baixo).
Se $A_n \downarrow A$, então $P(A_n) \downarrow P(A)$ (continuidade por cima).

Prova. Para provar i. Defina $B_1 = A_1$, $B_k = A_k\setminus A_{k-1}$, $k\geq 2$ e note que os eventos $B_1,B_2,\ldots$ são disjuntos dois a dois. Além disso,
\[ A_n=\bigcup_{k=1}^n B_k \; \; \; \text{e} \; \; \; A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty B_n \] Logo, \[\begin{align} P(A_n) = \sum_{k=1}^n P(B_k), \\ P(A) =\sum_{n=1}^\infty P(B_k). \end{align}\] Além disso, como $A_n\subset A_{n+1},$ $\forall n\geq 1$, temos que $P(A_n)\leq P(A_{n+1}),$ $\forall n\geq 1$. Finalmente, tomando limite em (1) quando $n \to \infty$, temos que $P(A_n) \uparrow P(A)$.

Para provar ii. note que $A_n^c \uparrow A^c$, logo pela parte i., segue que $P(A_n^c) \uparrow P(A^c)$, logo $1-P(A_n) \uparrow 1- P(A) \iff P(A_n) \downarrow P(A)$.

Definição 2.3 (conjuntos limites) Seja $A_1,A_2,\ldots$ uma sequência de eventos em um espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal F, P)$, definimos os eventos \[\begin{align} {\lim\inf}_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k \label{liminf} \\ {\lim\sup}_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k \label{limsup} \end{align}\]

Da definição de $\liminf A_n$, temos que \[\begin{align*} \omega \in {\lim\inf}_{n\to\infty} A_n &\iff \exists n \geq 1, \forall k \geq n, \; \omega \in A_k \\ &\iff |\{ n : \omega \notin A_n\}|< \infty. \end{align*}\]
Da definição de $\limsup A_n$, temos que \[\begin{align*} \omega \in {\lim\sup}_{n\to\infty} A_n &\iff \forall n\geq 1, \exists k \geq n, \; \omega \in A_k \\ &\iff |\{n: \omega \in A_n \}|=\infty \end{align*}\]

Daí, é frequentemente usada a seguinte notação: \[{\lim\sup}_{n\to\infty} A_n = [A_n \text{ ocorre infinitas vezes}]\] \[{\lim\inf}_{n\to\infty} A_n = [A_n \text{ ocorre para todo $n$ suficientemente grande}]\]

Observação. Observe que $\liminf_{n\to\infty} A_n \subset \limsup_{n\to\infty} A_n$, logo temos a seguinte definição.

Definição 2.4 (Limite de uma sequência) Se $\limsup_{n\to\infty} A_n \subset \liminf_{n\to\infty} A_n$, então dizemos que $\lim_{n\to\infty} A_n = A$, onde $A = \liminf_{n\to\infty} A_n = \limsup_{n\to\infty} A_n$.

Teorema 2.2 (Continuidade da probabilidade) Se $\lim_{n\to\infty} A_n = A$, então $\lim_{n\to\infty} P(A_n) = P(\lim_{n\to\infty} A_n) = P(A)$.

Prova. Para $n\geq 1$, defina $\displaystyle B_n = \bigcap_{k=n}^\infty A_k$ e $\displaystyle C_n = \bigcup_{k=n}^\infty A_k$ $\Rightarrow$ $B_n\subset A_n \subset C_n$, logo, $P(B_n) \leq P(A_n) \leq P(C_n)$. Além disso, temos que $B_n \uparrow \liminf A_n$ e $C_n \downarrow\limsup A_n$, logo $P(\liminf A_n) = \lim P(B_n)$ e $\lim P(C_n) = P(\limsup A_n)$. Agora,

\[ P(\liminf A_n) \leq \liminf P(A_n) \leq \limsup P(A_n) \leq P(\limsup A_n), \] mas $P(A) = P(\liminf A_n) = P(\limsup A_n)$, logo se $P(A_n)$ converge, temos que $\lim P(A_n) = P(A)$.

2.1 Limite superior e inferior de uma sequência de números reais.

Seja $(a_n)_{n\geq 1}$ uma sequência limitada de números reais, definimos \[\begin{align*} b_n=\inf_{k \geq n} a_k \\ c_n=\sup_{k \geq n} a_k \end{align*}\] Primeiro, note que como $(a_n)_{n\geq 1}$ é limitada existem $m,M\in\mathbb R$, tais que \[ m \leq a_n \leq M, \; \; \; \forall n \geq 1. \] Portanto $(b_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência crescente e limitada superiormente por $m$, enquanto $(c_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência decrescente e limitada inferiormente por $M$. Logo, definimos:

\[\begin{align} \liminf a_n&:=\lim b_{n} = \sup_{n\geq 1} \inf_{k\geq n} a_k, \label{liminfseq} \\ \limsup a_n &:= \lim c_n = \inf_{n\geq 1} \sup_{k\geq n} a_k. \label{limsupseq} \end{align}\] O limite dado em $\eqref{liminfseq}$ é chamado de limite inferior da sequência $(a_n)$, similarmente o limite dado em $\eqref{limsupseq}$ é chamado de limite superior de $(a_n)$.

Teorema 2.3 Uma sequência $(a_n)$ de números reais converge para $a\in\mathbb R$ se, e somente se, \[\liminf a_n= \limsup a_n = a.\]

Prova. ($\Leftarrow$) Suponha que $\liminf a_n = \limsup a_n = a$. Pela definição, de $\liminf$ e $\limsup$ de uma sequência de números reais, temos que \[ a=\liminf a_n \leq a_n \leq \limsup a_n = a, \] o resultado segue pelo Teorema do Sanduíche.

($\Rightarrow$) Suponha agora que $a_n \to a, \; n \to \infty$. Dado $\varepsilon >0$, existe $n_0\in\mathbb N$, tal que para $n \geq n_0$, \[ a -\varepsilon < a_n < a + \varepsilon. \] Daí, para $n \geq n_0$ \[ a -\varepsilon < \inf_{k\geq n} a_k \leq \sup_{k \geq n} < a + \varepsilon \iff a -\varepsilon < b_n \leq c_n < a + \varepsilon .\] Portanto, $\liminf a_n = \limsup a_n=a$.