Capítulo 4 Valor esperado

Seja \(X\) uma variável aleatória discreta com função de probabiliade \(p(\cdot)\) e assumindo valores em \(\{x_1, x_2,\ldots\}\). A esperança matemática, média ou valor esperado de \(X\) é definida por \[\begin{align*} E(X) = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p(x_i). \end{align*}\]

Observação. Note que a esperança de \(X\), é uma média ponderada dos valores de \(x\), em que cada valor de \(x\) é ponderado por sua probabilidade correspondente.

Voltando ao exemplo do lançamento da moeda 3 vezes e, definindo \(X\) como o número de caras observadas, temos que \[ E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = 1,5. \]

Algumas observações sobre a o valor esperado:

• O valor esperado pode não ser um dos valores possíveis de \(X\),
• Não se deve arredondar \(E(X)\) para um número inteiro.

Exemplo 4.1 Seja \(X:\) Resultado observado no lançamento de um dado honesto. Determine o valor esperado de \(X\).

Solução. A função de probabilidade de \(X\) é \[ p(x) = \frac{1}{x}, \; x=1,\ldots,6. \] Logo \[ E(X) = \sum_{x=1}^6 x \frac{1}{6} = \frac{1}{6}\sum_{x=1}^6 x= \frac{6\times 7}{6 \times 2} = \frac{7}{2}. \]

Exemplo 4.2 Um lote contém 3 itens defeituoso e 5 não defeituosos. Retiram-se 2 itens do lote em sequência, sem reposição. Determine o número esperado de itens defeituosos retirados.

Solução. Vamos determinar, primeiro, a função de probabilidade de \(X:\) número de itens defeituosos retirados. Para isso, seja \(D_i\): o i-ésimo item retirado é defeituoso e \(B_i\): o i-ésimo item retirado é bom. Logo: \[\begin{align*} p(0)=P(X=0) &= P(B_1\cap B_2) = P(B_1)P(B_2|B_1) = \frac{5}{8} \frac{4}{7} = \frac{20}{56},\\ p(1)=P(X=1) &= P(B_1 \cap D_2) + P(D_1 \cap B_2) = \frac{5}{8} \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \frac{5}{7} = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56},\\ p(2)=P(X=2) &= P(D_1 \cap D_2) =P(D_1)P(D_2|D_1) = \frac{3}{8} \frac{2}{7} = \frac{6}{56}. \end{align*}\] Portanto, \[ E(X) = 0\times \frac{20}{56} + 1 \times \frac{30}{56} + 2 \times \frac{6}{56} = \frac{3}{4}. \]

4.1 Motivação

Suponha uma variável aleatória discreta \(X\) assumindo valores no conjunto \(\{x_1,x_2,\ldots\}\). Essa variável aleatória é o resultado de um experimento aleatório. Suponha que repetimos o experimento \(N\) vezes. Seja \(N_i\) (\(i=1,2,\ldots\)) o número de vezes que observamos o valor \(x_i\). Pela interpretação frequentista da probabilidade, para \(N\) suficientemente grande temos que \[ p(x_i) \approx \frac{N_i}{N}, \] e a média aritmética dos valores observados de \(X\) é

\[ \bar{X} = \sum_{i=1}^\infty \frac{N_i\, x_i}{N} \approx \sum_{i=1}^\infty p(x_i) x_i = E(X) \]

Essas aproximações são adequadamente justificadas pela Lei dos grandes números.

4.2 Funções de variáveis aleatórias

Se \(X\) é uma variável aleatória e \(g\) uma função a valores reais, então \(Y=g(X)\), também é uma variável aleatória.

Proposição 4.1 Seja \(X\) uma v.a. discreta com função de probabilidade \(p(x)\). Para qualquer função \(g\) a valores reais, \[ E[g(X)] = \sum_{x: p(x)>0} g(x) p(x). \]

Observação. Note que esse resultado permite o cálculo da esperança de \(Y=g(X)\), mesmo que se desconheça a distribuição de probabilidade de \(Y\).

Exemplo 4.3 Seja \(X\): Número de caras nos três lançamentos de uma moeda justa, então a função de probabilidade de \(X\) é

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(p(x)\)	\(1/8\)	\(3/8\)	\(3/8\)	\(1/8\)

E seja \(Y=X^2\), logo,

\[\begin{align*} E(X^2)=E(Y) = \sum_{x=0}^3 x^2 p(x) = 0^2\times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = 3. \end{align*}\]

Observação. Em geral \(E(X^2) \neq [E(X)]^2\)

Exemplo 4.4 Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes, e que ganhamos ou perdemos R$1 conforme o número de caras seja par ou ímpar. Qual o valor esperado do nosso lucro?

Solução. Seja \(X\): Número de caras \(\Rightarrow\) \(Y=(-1)^X\): Lucro obtido no jogo. Logo, \[ E(Y)=E[(-1)^X]=(-1)^0\times \frac{1}{8} + (-1)^1 \times \frac{3}{8} + (-1)^2 \times \frac{3}{8} + (-1)^3 \times \frac{1}{8}=0. \]

Corolário 4.1 Se \(a\) e \(b\) são constantes, então Se \(a\) e \(b\) são constantes, então \[ E(aX + b) = a E(X) + b \]

Exemplo 4.5 Uma moeda é lançada 3 vezes, e ganhamos R$5 a cada cara obtida e perdemos R$2 a cada coroa. Qual o valor esperado do nosso lucro?

Solução. \(X\): Número de caras, \(3-X\): Número de coroas \(\Rightarrow\) \(Y=5X - 2(3-X) =7X - 6\): Lucro. \[ E(Y)=E(7X-6) = 7E(X) - 6= 7 \times \frac{3}{2} - 6 = \frac{9}{2}. \]

4.3 Variância

Definição 4.1 A variância de uma v.a. \(X\) com esperança \(\mu\) é definida por \[ \sigma^2=Var(X)=E[(X-\mu)^2]. \]

Definição 4.2 O desvio padrão de \(X\) é definido por \(\sigma=DP(X)= \sqrt{Var (X)}\).

Exemplo 4.6 Seja \(X\) o resultado obtido no lançamento de um dado justo, assim \[ p(i) = 1/6, \; \; i =1,2,3,4,5,6. \] Logo, \(E(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^6 i \, p(i) = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i =\frac{1}{6}\frac{(6)(7)}{2} = \frac{7}{2}\). \[\begin{align*} \sigma^2 &= \sum_{i=1}^6 (i-E(X))^2 p(i)\\ &= \frac{1}{6}\left[\left(1-\frac{7}{2}\right)^2 + \left(2-\frac{7}{2}\right)^2 + \cdots + \left(6-\frac{7}{2}\right)^2\right] \\ &=\frac{35}{12}. \end{align*}\] e, \[ \sigma = DP(X) = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1,70. \]

Proposição 4.2 \(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)

Prova. Seja \(\mu = E(X)\), \[\begin{align*} (X-\mu)^2 = X^2 - 2X\mu + \mu^2, \end{align*}\] Logo, \[\begin{align*} Var(X) = E[(X-\mu)^2] &= E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 \\ &=E(X^2) - \mu^2 = E(X^2) - [E(X)]^2. \end{align*}\]

Proposição 4.3 Se \(a\) e \(b\) são constantes, então \[ Var(aX+b) = a^2 Var(X) \]

Corolário 4.2 Seja \(X\) uma v.a. tal que \(E(X) = \mu\) e \(Var(X) = \sigma^2 >0\). Defina \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\). Então \[ E(Z) = 0 \text{ e } Var(Z) = 1. \]

4.4 Independência de variáveis aleatórias

Definição 4.3 As variáveis aleatórias \(X_1, \ldots, X_n\) são independentes se, para qualquer escolha de conjuntos \(A_1,\ldots,A_n \subset \mathbb R\), tem-se que

\[ P(X_1 \in A_1, \ldots, X_n\in A_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i \in A_i). \]

Definição 4.4 (caso discreto) No caso de variáveis aleatórios discretas, a definição anterior é equivalente à condição de que, para qualquer escolha de \(x_1,\ldots,x_n \in \mathbb R\), tem-se que \[ P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i=x_i). \]

Proposição 4.4 (Linearidade da esperança) Para quaisquer variáveis aleatórias \(X_1,\ldots,X_n\), temos: \[ E(X_1 + \ldots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) \]

Proposição 4.5 (Linearidade da variância) Sejam \(X_1,\ldots,X_n\) variáveis aleatórias independentes, temos: \[ Var(X_1 + \ldots + X_n) = Var(X_1) + \cdots + Var(X_n) \]