Capítulo 3 Variáveis aleatórias
Grosso modo, uma variável aleatória pode ser definida como um característico numérico associada ao resultado de um experimento aleatório. Para esclarecer isso, consideremos o experimento aleatório em que uma moeda é lançada 3 vezes, e registramos os resultados em ordem. O espaço amostral para esse experimento é \[\Omega = \{KKK, CKK, KCK, KKC, CCK, CKC, KCC, CCC\}.\]
Agora, suponha que estamos interessados em saber o número de caras \(X\). Os possíveis valores de \(X\) estão resumidos na seguinte tabela
| \(\omega\) | \(KKK\) | \(CKK\) | \(KCK\) | \(KKC\) | \(CCK\) | \(CKC\) | \(KCC\) | \(CCC\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(X(\omega) = x\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(3\) |
Note que para cada \(\omega \in \Omega\), associamos um valor \(X(\omega) \in \{0,1,2,3\}\subset \mathbb R\). Se atribuímos a cada \(\omega \in \Omega\) igual probabilidade, isto é, 1/8, então podemos calcular, por exemplo
\[\begin{eqnarray*} P(X=1) &=& P(\{\omega\in\Omega: X(\omega)=1\}) \\ &=& P(\{CKK, KCK, KKC\}) \\ &=& \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \\ &=&\frac{3}{8}. \end{eqnarray*}\]
Aplicando o mesmo raciocínio para \(x=0,2,3\), obtemos
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(1/8\) | \(3/8\) | \(3/8\) | \(1/8\) |
Note que \(\displaystyle \sum_{x=0}^3 P(X=x) = 1\).
3.1 Definições
Uma variável aleatória (v.a.) é uma função a valores reais, definida em \(\Omega\).
Variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas \(X,Y,Z,\ldots\)
Os valores possíveis de uma variável aleatória são denotados por letras minúsculas \(x,y,z,\ldots\)
Uma variável aleatória é dita discreta se assumir valores em conjunto finito ou infinito enumerável.
Uma variável aleatória é dita contínua se assumir valores em um intervalo de \(\mathbb R\).
3.2 Função de probabilidade
Seja \(X\) uma v.a. discreta assumindo valores no conjunto \(\{x_{1}, x_{2}, \ldots\}\) finito ou enumerável. A função \[p(x) = P(X=x), \; \; x\in \mathbb R,\] é dita função de probabilidade de \(X\), se satisfaz as seguintes propriedades
Se \(x\notin \{x_{1}, x_{2}, \ldots\}\), então \(p(x)=0\).
\(p(x_{i}) \geq 0\) para qualquer \(i=1,2,\ldots\)
\(\sum_{i=1}^{\infty} p(x_{i})=1\).
Se \(A\subset \mathbb R\), então \(\displaystyle P(X \in A) = \sum_{i: x_{i}\in A}p (x_{i})\).
3.2.1 Exemplos
Exemplo 3.1 Três bolas são selecionadas aleatoriamente de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Se apostamos que pelo menos uma das bolas retiradas tem o número maior ou igual a 17, qual a probabilidade de ganharmos?
Solução. Seja \(X\) o maior número sorteado. Por exemplo,
Se \(\omega = \{3,10,5,\}\), então \(X(\omega) = 10\) (perdemos a aposta).
Se \(\omega' = \{2,5,16\}\), então \(X(\omega') = 16\) (ganhamos a aposta).
Agora, suponha que todas as \(\binom{20}{3}\) possíveis seleções são igualmente prováveis. Logo, para \(x\in \{3,\ldots, 20\}\) \[\begin{align*} p(x) = P(X=x) = \frac{\binom{x-1}{2}}{\binom{20}{3}}. \end{align*}\]
Finalmente, queremos obter \(P(X \geq 17)\) \[\begin{align*} P(X\geq 17) &= p(17) + p(18) + p(19) + p(20) \\ &= \frac{\binom{16}{2}}{\binom{20}{3}} + \frac{\binom{17}{2}}{\binom{20}{3}} + \frac{\binom{18}{2}}{\binom{20}{3}} + \frac{\binom{19}{2}}{\binom{20}{3}}\\ &\approx 0,105 + 0,119 + 0,134 + 0,150 = 0,508. \end{align*}\]
Exemplo 3.2 O número de pessoas que entram em uma academia durante um minuto é uma v.a. discreta \(X\) com função de probabilidade dada por \[ p(k) = \frac{c \, 4^k}{k!}, \; k = 0,1,\ldots \] Determine: (a) o valor de \(c\)
- \(P(X>2)\).
Solução. Seja \(X\): Número de pessoas que entram naquela academia durante um minuto. Logo
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty p(k) = 1 \Rightarrow c \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{4^k}{k!} = 1 \Rightarrow c e^4 \Rightarrow c =e^{-4}\). Portanto, \[p(k) = \frac{e^{-4}\, 4^k}{k!}, \; k = 0,1,\ldots \]
\(P(X>2) = 1- P(X\leq 2) = 1-[p(0) + p(1) + p(2)] = 1-13\,e^{-4} \approx 0,7619\).
3.3 Função de distribuição acumulada
Para todo \(x\in \mathbb R\), defina \(F(x) = P(X\leq x)\), então \[\begin{eqnarray*} F(0) &=& P(X \leq 0) = p(0) = 1/8, \\[0.2cm] F(1) &=& P(X \leq 1) = p(0) + p(1) = 4/8, \\[0.2cm] F(2) &=& P(X \leq 2) = p(0) + p(1) + p(2) =7/8, \\[0.2cm] F(3) &=& P(X \leq 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)= 1. \end{eqnarray*}\]
Definição 3.1 A função de distribuição (acumulada) de uma variável aleatória \(X\) é a função \(F: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) definida por \[\begin{equation*} F(x) = P(X\leq x) = P(\{s\in \Omega: X(s)\leq x\}), \; x\in \mathbb R. \end{equation*}\]
3.3.1 Algumas propriedades da função de distribuição
\(F\) é uma função não-decrescente, isto é \[\begin{align*} \text{Se } x < y, \text{ então } F(x) \leq F(y). \end{align*}\]
Se \(X\) é uma v.a. discreta, então
\[\begin{align*} F(x) = \sum_{y \leq x} p(y). \end{align*}\]
\(P(X=x) = P(X\leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x^{-})\) (salto de \(F\) no ponto \(x\)).
Para \(a,b\in\mathbb R\) com \(a < b,\) \(P(a< X \leq b) = F(b) - F(a)\).
3.3.2 Propriedades fundamentais da função de distribuição
(F1) \(F\) é não decrescente: \(x<y \Rightarrow F(x) \leq F(y)\).
(F2) \(F\) é contínua à direita: \(x_n\downarrow x \Rightarrow F(x_n) \downarrow F(x)\).
(F3) \(\lim_{n\to \infty}F(n)=1\) e \(\lim_{n\to-\infty} F(n) = 0\).
Qualquer função \(F: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) satisfazendo as condições (F1), (F2) e (F3) é função de distribuição de alguma variável aleatória.