Capítulo 10 Transformações de variáveis aleatória
Motivação: Suponha que você possui uma amostra aleatória \(X_1, \ldots, X_n\). Definimos uma estatística como uma função \(T= T(X_1,\ldots,X_n) \in \mathbb R\) da amostra aleatória. Como \(X_1,\ldots, X_n\) são variáveis aleatórias então a estatística \(T\) também é uma variável aleatória.
Se por exemplo, \(X_1, \ldots, X_n\) é uma amostra dos preços do aluguel (em reais) em uma certa região, \(T = X_{(n)} = \textrm{máx}\{X_1,\ldots,X_n\}\) representa o valor máximo do aluguel. Portanto, se quisermos calcular a probabilidade de que o valor máximo não exceda os 2000 reais, \(P(X_{(n)} < 2000)\), precisamos da distribuição de \(X_{(n)}\) que por definição é uma transformação de \(X_1,\ldots, X_n\).
Neste capítulo lidaremos com métodos para determinar a distribuição de probabilidade de transformações de variáveis aleatórias. Entre os método mais comuns encontramos:
O método da função de distribuição.
O método das transformações.
10.1 Método da função de distribuição
Ilustraremos o método da função de distribuição através de vários exemplos.
Exemplo 10.1 Seja \(X\) uma variável aleatória, e seja \(Y=X^n\). Determine a distribuição de \(Y\).
Solução. Seja \(Y = X^n\), então \[\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &=P(X \leq y^{1/n}) \\ &=F_X(y^{1/n}). \end{align*}\]
Logo, derivando em relação a \(y\), temos que a densidade de \(Y\) é dada por
\[ f_Y(y) = \frac{1}{n} y^{1/n - 1} f_X(y^{1/n}) \]
Se por exemplo, \(X \sim\) Uniforme Contínua(0,1), temos que \[ f_Y(y) = \frac{1}{n} y^{1/n - 1}, \; y \in (0,1). \]
Exemplo 10.2 Seja \(X\) uma variável aleatória, e seja \(Y = X^2\). Determine a distribuição de \(Y\).
Solução. Seja \(Y = X^2\), então \[\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &=P(X^2 \leq y) \\ &=P(|X| \leq \sqrt{y})\\ &=F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}). \end{align*}\]
Logo, derivando em relação a \(y\), temos que a densidade de \(Y\) é dada por
\[ f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{y}} f_X(\sqrt{y}) + \frac{1}{\sqrt{y}} f_X(-\sqrt{y}), \; y >0. \]
Se por exemplo, \(X\sim N(0,1)\), então \(Y = X^2 \sim \chi^2_1\). Com efeito, a densidade da distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade é dada por
\[ f_Y(y) = \frac{(1/2)^{1/2}}{\sqrt{\pi}} y^{-1/2}e^{-y/2}, \; y>0. \]
Para concluirmos a afirmação, basta usar o fato que \(f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}, x \in \mathbb R\).
Exemplo 10.3 Seja \(X\) uma variável aleatória, e seja \(Y = |X|\). Determine a distribuição de \(Y\).
Solução. Seja \(Y = X^2\), então \[\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &=P(|X| \leq y)\\ &=F_X(y) - F_X(-y). \end{align*}\]
Logo, derivando em relação a \(y\), temos que a densidade de \(Y\) é dada por
\[ f_Y(y) = f_X(y) + f_X(-y), \; y >0. \]
Se por exemplo \(X \sim N(0,1)\), a distribuição de \(Y= |X|\) é conhecida como a distribuição normal dobrada e sua função de densidade é dada por
\[\begin{align*} f_Y(y) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2}\\ &=\frac{\sqrt 2}{\sqrt{\pi}} e^{-y^2/2}, \; y>0. \end{align*}\]
10.2 Método das transformações
Continuamos interessados em determinar a distribuição de \(Y= g(X)\). O método das transformações é uma aplicação do método da função de distribuição, no caso em que \(g(x)\) é uma função estritamente monótona.
Primeiro, vamos supor que \(y=g(x)\) é estritamente crescente, nesse caso note que \(x=g^{-1}(y)\) também é estritamente crescente. Logo
\[\begin{align*} F_Y(y) &= P(g(X) \leq y) \\ &=P(X \leq g^{-1}(x)) \\ &=F_X(g^{-1}(x)) \end{align*}\]
Derivando em relação a \(y\) e usando o fato que \(g^{-1}(y)\) é estritamente crescente, temos que a densidade de \(Y\) é dada por
\[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\right|, \; y=g(x) \]
Agora, suponha que \(g(x)\) é estritamente decrescente, então
\[\begin{align*} F_Y(y) &= P(g(X) \leq y) \\ &=1 - P(X \leq g^{-1}(x)) \\ &=1 - F_X(g^{-1}(x)). \end{align*}\]
Derivando em relação a \(y\) e usando o fato que \(g^{-1}(y)\) é estritamente decrescente, temos que a densidade de \(Y\) é dada por
\[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\right|, \; y=g(x) \]
Por fim, temos o seguinte teorema.
Teorema 10.1 (método das transformações) Seja \(X\) uma variável aleatória contínua com função de densidade \(f_X\), e seja \(g(x)\) uma função estritamente monótona e derivável, então a densidade de \(Y = g(X)\) é dada por \[ f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\right|, \; y=g(x) \text{ para algum } x. \]
Exemplo 10.4 Seja \(X\) uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por \[f(x) = 2x, \; x \in [0,1].\]
Encontre a função de densidade de \(Y = -4X + 3\).
Solução. Podemos proceder como segue:
Determine o conjunto de valores de \(y\): \[y = -4x + 3 \iff x=g^{-1}(y) = \frac{3 - y}{4}, \; y \in [-1,3]\]
Determine a derivada de \(g^{-1}(y)\):
\[\frac{dg^{-1}(y)}{dy} = -\frac{1}{4}\]
- Finalmente, a densidade de \(Y\) é dada por:
\[\begin{align*} f_Y(y) &= f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\right|\\ &=\frac{3-y}{8}, \; y \in [-1,3]. \end{align*}\]
10.3 Método da transformação inversa
Apresenteramos um método geral para gerar uma variável aleatória contínua, o método é baseado no seguinte resultado e é conhecido como o método da função inversa.
Teorema 10.2 Seja \(U\) uma variável aleatória uniforme em (0,1). Seja \(F_X\) a função de distribuição de uma variável aleatória contínua \(X\), se definimos a transformação \(Y = F_X^{-1}(U)\), então \(Y\) tem a mesma distribuição de \(X\).
Prova. Seja \(U\sim\) Uniforme em (0,1) e defina \(Y = F_X^{-1}(U)\). Logo
\[\begin{align*} F_Y(y)&=P(Y \leq y)\\ &=P(F_X^{-1}(U) \leq y)\\ &=P(U \leq F_X(y))\\ &=F_X(y). \end{align*}\]
Exemplo 10.5 Suponha que queiramos gerar uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro \(\lambda >0\). Então podemos proceder como segue:
Considere \(U\) uma variável aleatória uniforme em (0,1) e lembrando que \(F_X(x) = 1- e^{-\lambda x}, \; x >0\), temos que \(F_X^{-1}(u) = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda}\). Logo, a transformação \(X = -\frac{\ln(1-U)}{\lambda}\) tem distribuição exponencial de parâmetro \(\lambda\).