Capítulo 9 Algumas desigualdades

Desigualdade de Markov

Se $X\geq 0$, então para qualquer $\lambda > 0$,

$$P(X\geq \lambda) \leq \frac{E(X)}{\lambda}.$$

Desigualdade de Chebyshev

Seja $X$ uma v.a. com $E(X) < \infty$. Então, para qualquer $\lambda > 0$,

$$P(|X-E(X)| \geq \lambda) \leq \frac{Var(X)}{\lambda^2}.$$

Desigualdade de Jensen

Suponha que $\psi: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ é uma função convexa. Se $E(|X|) < \infty$, enttão

$$E(\psi(X)) \geq \psi(E(X)).$$

Um caso de aplicação da Desigualdade de Chebyshev é apresentado no seguinte teorema.

Teorema de chebyshev

Teorema 9.1 Seja $X$ uma variável aleatória com $\mu = E(X)$ e $0<\sigma^2 = Var(X) < \infty$, então para qualquer $k>0$ $$P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.$$

Prova. Faremos a prova no caso em que $X$ é uma variável aleatória contínua com função de densidade $f(x)$. De fato, $$\begin{align*} \sigma^2 &= \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f(x) dx \\ &= \int_{-\infty}^{\mu - \sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int_{\mu -\sigma}^{\mu +\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int_{\mu +\sigma}^\infty (x-\mu)^2 f(x) dx \end{align*}$$ Note que a segunda integral é maior ou igual a 0, enquanto que primeira e a última integral é maior ou igual a $k^2\sigma^2$. Daí,

$$\begin{align*} \sigma^2 \geq k^2\sigma^2 \left[P(X\leq \mu -k\sigma) + P(X\geq \mu + k\sigma)\right], \end{align*}$$ Portanto, $$P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.$$