Capítulo 9 Algumas desigualdades

Desigualdade de Markov

Se \(X\geq 0\), então para qualquer \(\lambda > 0\),

\[ P(X\geq \lambda) \leq \frac{E(X)}{\lambda}.\]

Desigualdade de Chebyshev

Seja \(X\) uma v.a. com \(E(X) < \infty\). Então, para qualquer \(\lambda > 0\),

\[ P(|X-E(X)| \geq \lambda) \leq \frac{Var(X)}{\lambda^2}.\]

Desigualdade de Jensen

Suponha que \(\psi: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) é uma função convexa. Se \(E(|X|) < \infty\), enttão

\[ E(\psi(X)) \geq \psi(E(X)). \]

Um caso de aplicação da Desigualdade de Chebyshev é apresentado no seguinte teorema.

Teorema de chebyshev

Teorema 9.1 Seja \(X\) uma variável aleatória com \(\mu = E(X)\) e \(0<\sigma^2 = Var(X) < \infty\), então para qualquer \(k>0\) \[P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.\]

Prova. Faremos a prova no caso em que \(X\) é uma variável aleatória contínua com função de densidade \(f(x)\). De fato, \[\begin{align*} \sigma^2 &= \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f(x) dx \\ &= \int_{-\infty}^{\mu - \sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int_{\mu -\sigma}^{\mu +\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int_{\mu +\sigma}^\infty (x-\mu)^2 f(x) dx \end{align*}\] Note que a segunda integral é maior ou igual a 0, enquanto que primeira e a última integral é maior ou igual a \(k^2\sigma^2\). Daí,

\[\begin{align*} \sigma^2 \geq k^2\sigma^2 \left[P(X\leq \mu -k\sigma) + P(X\geq \mu + k\sigma)\right], \end{align*}\] Portanto, \[P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.\]