Capítulo 8 Função geradora de momentos

8.1 Momentos

Definição 8.1 Seja \(X\) uma variável aleaória. Para \(n \geq 1\) inteiro, definimos o n-ésimo momento de \(X\) como

\[ \mu_{(n)} = E(X^n). \]

Observação. No caso em que \(X\) é uma v.a. discreta com função de probabilidade \(p(x)\), temos que \[ \mu_{(n)} = \sum_{x: p(x)>0} x^n p(x) \]

Observação. Note que para \(n=1\), temos que \(\mu_{(1)}\) corresponde à média da v.a. \(X\) e, que a variância de \(X\) é uma função do primeiro e segundo momento, isto é, \(Var(X) = \mu_{(2)} - (\mu_{(1)})^2\).

8.2 Função geradora de momentos

Definição 8.2 Seja \(X\) uma variável aleatória. Definimos a função geradora de momentos de \(X\) como: \[ M_{X}(t) = E(e^{tX}), \; t \in \mathbb{R}. \]

Proposição 8.1 Seja \(X\) uma variável aleatória, temos que \[ M_{X}^{(n)}(t)|_{t=0} = E(X^n) \]

Prova. Procedemos por indução em \(n\) \[\begin{align*} M_X^{\prime} (t)=\frac{d}{dt}M_X(t) &= \frac{d}{dt}E(e^{tX})\\ &=E(\frac{d}{dt} e^{tX})\\ &=E(Xe^{tX}) \end{align*}\]

Assuma que \(M^{(n-1)}(t)=\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} M_X(t) = E(X^{n-1} e^{tX})\). Logo

\[\begin{align*} M^{(n)}(t) &= \frac{d}{dt} M^{(n-1)}(t)\\ &=\frac{d}{dt}E(X^{n-1} e^{tX})\\ &=E(\frac{d}{dt} X^{n-1} e^{tX})\\ &=E(X^n e^{tX}) \end{align*}\]

Para finalizar a prova, basta avaliar \(M^{(n)}_X(t)\) em \(t=0\).

8.3 Exemplos de \(M_X(t)\) para algumas distribuições comuns

Exemplo 8.1 (Bernoulli) Seja \(X\) uma v.a. e \(0<p<1\), tal que \[p(0) = 1-p, \; \; p(1) = p.\]

Logo, para \(t\in\mathbb R\), a função geradora de momentos é dada por

\[\begin{align*} M_{X}(t) &= E(e^{tX}) \\ &= e^{t\cdot 0} \times p(0) + e^{t\cdot 1} \times p(1) \\ &= (1-p) + p e^{t}, \; \end{align*}\]

Exemplo 8.2 (Geométrica) Seja \(X\) uma v.a., cuja função de probabilidade é \[ p(x) = (1-p)^{x-1}p, \; x=1,2,\ldots \] Logo, para \(t < \ln\left(\frac{1}{1-p}\right)\), a função geradora de momentos de \(X\) é \[\begin{align*} M_{X}(t) &= E(e^{tX})\\ &=\sum_{x=1}^\infty e^{tx} (1-p)^{x-1}p\\ &=\frac{p}{1-p} \sum_{x=1}^\infty e^{tx} (1-p)^{x}\\ &=\frac{p}{1-p} \sum_{x=1}^\infty [e^{t} (1-p)]^{x} \\ &=\frac{p}{1-p}\cdot \frac{e^{t} (1-p)}{1- e^{t} (1-p)}\\ &=\frac{p e^{t}}{1- e^{t} (1-p)} \end{align*}\]

Exemplo 8.3 (Poisson) Seja \(X\) uma v.a. cuja função de probabilidade é \[ p(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \; x=0,1,\ldots \] onde \(\lambda >0\) constante.

Logo, para \(t\in\mathbb R\), a função geradora de momentos é dada por

\[\begin{align*} M_X(t) &= E(e^{tX})\\ &=\sum_{x=0}^\infty e^{tx} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\ &= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^\infty \frac{(\lambda e^t)^x}{x!}\\ &=e^{-\lambda} e^{\lambda e^t}\\ &=e^{-\lambda(1-e^t)} \end{align*}\]

Proposição 8.2 Sejam \(a,b\) constantes e \(Y=aX+b\), então \[ M_Y(t) = e^{tb} M_X(ta) \]

Prova. \[\begin{align*} M_Y(t) &= E(e^{t(aX+b)}) \\ &=E(e^{(ta)X}e^{tb})\\ &=e^{tb}E(e^{(ta)X})\\ &=e^{tb}M_X(ta) \end{align*}\]